经历了数千年发展，数学这门古老的学科在近一百多年开拓出了众多分支，并产生了多个应用学科。而一般人所学的往往是200多年前的数学。面对近代数学，若非精通数理者，恍如坠入“数学的深渊”。今天的二条文章用一张生动有趣的长图，将深奥的数学深渊化作一部星汉灿烂的数学史。  

事实上，数学的发展常常得益于物理学提出的问题，而物理学的每一次重大革命，则往往伴随着新数学的引入。文小刚特为此撰文，回顾历史上几次物理学革命，从数学的眼光看待物理学，并阐述凝聚态物理中的近代数学。在他看来，范畴学、代数拓扑等近代数学理论在物理学中的应用意味着，物理学正在进行一场新的革命。
 

撰文 | 文小刚（麻省理工学院终身教授、格林讲席教授） 
 

今天的文章介绍了1900年前的数学发展史。过去100年来，数学有了很大的发展，除了像微分方程和微分几何这些与经典物理本身有深刻关系的数学以外，还发展出了代数拓扑、代数几何、代数数论、范畴学、几何表示论等极度抽象的数学。而近代数学不是一个仅仅关于“数”的学问。以范畴学为代表的近代数学，更是一门关于关系和结构的抽象学问。有趣的是，近年来，这些看似和现实毫无关系的数学理论，特别是代数拓扑、代数几何和范畴学已经开始和现代物理深度碰撞。 

1 物理学革命与数学的引入 

历史上物理和数学有着十分深刻的联系。物理的目的之一是了解新的自然现象。而一个新的自然现象之所以新的标志，就是我们连描写它的名字及数学符号都没有。这就是为什么当物理学家有一个真正的新发现时，他/她什么都说不出来，什么都写不出来，也无法进行计算推导。这时候就需要引入新的数学语言来描写新的自然现象。这就是数学和物理之间的深刻联系。正因为如此，每一次物理学的重大革命，其标志都是有新的数学被引入到物理学中来。  

第一次物理革命是力学革命，需要研究的物理现象是天体的的运动。牛顿不仅要发明他的万有引力理论，而且还要发明微积分这一套新的数学来描写他的理论。第二次物理革命是电磁革命。麦克斯韦发现了一种新的物质形态——场形态物质。这就是电磁波，也是光波。后来人们发现，这种场形态物质需要用数学的纤维丛理论来描写。第三次物理革命是广义相对论。爱因斯坦发现了第二种场形态物质——引力波。他需要引入数学中的黎曼几何来描写这种新物质。第四次物理革命是量子革命。这次革命揭示出，我们世界中的真实存在，既不是粒子也不是波，但既是粒子又是波。这种莫名其妙却又真实的存在，可以用量子力学来解释，而量子力学则是建立在数学中的线性代数理论之上。 

我们现在正在经历一场新的物理革命——第二次量子革命。这次革命的主角是量子信息和它们的量子纠缠。这次我们所遇到的新现象，就是很多很多量子比特的纠缠。这种多体量子纠缠的内部结构，正是我们既说不出来，又没有名字的新现象。我们现在正在发展一套新的数学理论（某种形式的范畴学），来试图描写这种新现象。 

这次正在进行中的物理学新革命是非常深刻的。因为这次革命试图用纠缠的量子信息来统一所有的物质、所有的基本粒子、所有的相互作用，甚至时空本身。而凝聚态物理中的拓扑序、拓扑物态，以及量子计算中的拓扑量子计算，都是多体量子纠缠的应用。正是通过这些物理研究，我们发现了多体量子纠缠的重要性，并引入了长程量子纠缠这一相关概念。 
 

2 用数学的眼光看物理学 

我们刚才用物理的眼光，概括了数学和物理的关系。自牛顿以来，我们都是用分析的眼光看世界，用连续流形、连续场来描写物理现象。特别是爱因斯坦的广义相对论，它是如此的漂亮自然，大家都认为它抓住了宇宙的本质。之后，以几何的眼光看世界成为物理的主流。在这个思路下，物理学家发展了规范场论、量子场论，以及描写所有基本粒子的标准模型。 

但完美主流的几何的眼光，并不一定是认识世界的正确方法。从量子革命以来，我们越来越意识到，我们的世界不是连续的，而是离散的。我们应该用代数的眼光看世界。连续的分析，仅仅是离散的代数的一个幻象。就像连续的流体，是许许多多一个个分子集体运动的幻象。这种以代数的眼光看世界的新思想，将颠覆很多目前的主流物理理论，带来物理的第二次量子革命（见《光的奥秘和空间的本源｜众妙之门》）。某种意义上，建立在几何思路之上的广义相对论、规范场论、量子场论太漂亮太完美了，让我们误以为它抓住了宇宙的本质，误导了我们一百多年。 

有趣的是，这100多年来，近代数学发展的一条脉络也正是从连续到离散、从分析到代数的脉络，也提出了离散的代数是比连续的分析更本质的观点。60年代由Grothendieck学派发展出来的代数几何理论正是这种思想的代表，代数几何可以看作是实现了连续和离散的统一的几何理论。这和物理学从经典到量子的发展一一相映。而实现统一的语言当然是代数的，更准确的说，是一个超越了集合论的、全新的数学语言，也是代数几何的基础语言：范畴学。 

40年代Eilenberg和Mac Lane发展了范畴学，60年代Grothendieck在此基础上发展了代数几何。
  

3 范畴学的精神 

下面让我从一个外行的角度，来粗略介绍一下范畴学的精神。通常，如果我们想要深入了解一个物体，我们会把这个物体分解成越来越小、越来越简单的构件。如果我们可以做到这一点，我们就认为了解了这个物体。这一思想方法就是还原论的思路。这是科学思想方法的一个主流。很多人甚至用它来定义什么叫做“理解”。 

但主流并不代表正确。“理解”也可以由另外一种完全不同的方式来实现。我们不试图把物体分成更小更简单的基本构件。我们甚至不去考虑物体的内部结构，也许物体根本就没有什么内部结构。我们试图通过这个物体和其他所有物体的关系和作用，来了解这个物体。 

其实，和其他物体的关系和作用，正代表了这个物体所有可能的性质。而一个物体的所有可能性质，也就完全定义了这个物体本身。归根到底，也许我们根本就没有物体，只有一大堆关系。而物体这一抽象的概念，以及物体所有可能的性质，是由这一堆关系来定义的。这就是范畴学的精神。

把这一范畴学的思路应用到认识论，我们发现所谓的“客观存在”，其实是人脑通过观察到的大量的、各种各样的关系，所抽象出来的一个概念。也就是说，我们头脑中的主观印象观察是客观的。而所谓的“客观存在”，反而是主观的。因为我们所观察到的大量的、各种各样的关系不是随机混乱的，这些关系之间有非常强烈的关联。这些强烈的关联赋予我们“客观存在”这一想象（或概念）。吴咏时老师举过一个社会学例子：范畴学的精神正像马克思说过的，人这个个体是通过人和人的关系定义的。所以范畴学是关系学，也是认识世界的一种新方式。 

我们也可以把范畴学的思路用到物理中对相和相变的理解。两个相之间的相变，就是范畴学中的“关系”。而相这个概念，就是通过所有相变（即“关系”）来定义的。
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物理学中的第2个例子是量子力学理论。通过量子力学中的波函数来理解我们的量子世界，其实是一种还原论的思路。如果我们要用范畴学的思路来理解我们的量子世界，那我们将像实验物理学家一样，直接考虑各种各样的观测（这些观测对应于我们上面说的关系），而且我们只考虑各种各样的观测。这些观测（关系）之间有很强的关联。通过这些关系之间的关系，我们可以直接理解我们的量子世界。这就是范畴学的思路。

现有的量子理论用的不是这一思路，而是通过对观测之间的关系的总结，抽象出波函数这一概念，代表所谓的“客观存在”。然后我们再通过波函数来理解我们的量子世界。 

其实波函数（及其背后的线性代数），仅仅是我们对现有实验观测的一个模型。这一模型不见得唯一，也就是说，可能有另一个理论可以同样有效地描写我们的量子世界。这一模型也不见得正确，也许将来新的实验观测会和现有的模型矛盾。这将迫使我们构造一个新的模型，也就是发展一套新的理论，来描写我们的量子世界。 

其实用范畴学的思路来理解我们的量子世界，就是要放弃波函数这一概念。这将有助于我们不受波函数的束缚，来进一步发展量子力学。  

物理学中第3个例子，就是具有长程纠缠的量子物态。量子物态中的组分有可能有长程纠缠。这些长程纠缠的各种各样的构型，会给出各种各样不同的量子物态^[1]。这就是量子物态中所谓的拓扑序（见《拓扑序：看世界的一种新视角 | 众妙之门》）。有长程纠缠的量子物态，是一类全新的物态，有各种想以前想不到的新现象。

陈谐顾正澄和我在一系列工作中提出了长程纠缠和对称保护序的概念，并发展了对称保护序的上同调理论。 

长程量子纠缠及其对应的拓扑序，是一个全新的自然现象。我们到底应该用什么样的数学来描写这一新现象？近十几年来的研究发现，张量范畴学和高阶范畴学正是描写长程纠缠（拓扑序）的数学框架。其实拓扑序物态中的拓扑准粒子对应于范畴学中的“实体”（object，即所谓的“客观存在”），而准粒子的交换、融合等操作，对应于范畴学中的关系（morphism）。张量范畴学正巧是描写拓扑准粒子的完备理论。它可描写拓扑序物态中的拓扑准粒子所具有的各种非常新奇的性质，如分数电荷、分数自由度、分数统计，甚至是非阿贝尔统计，等等。正是这些新奇的性质（非阿贝尔统计），使我们可以用拓扑物态进行拓扑量子计算。  

吴咏时指出分数统计（准粒子的交换操作）的数学基础是编织群表示。王正汉（右）及其合作者对简单的模张量范畴进行了完全分类。  

通过范畴学，我们得到了对拓扑序（即长程纠缠）的全面理解和分类。比如在1维，没有非平凡的拓扑序，也就是说没有长程纠缠，只有短程纠缠。在二维，各种各样的拓扑序可以由一类特殊的张量范畴——模张量范畴——来一一描写^[2]。在三维，各种各样的拓扑序可以由一类特殊的融合二阶范畴来一一描写^[3]。 

兰天、孔良、朱晨畅和我的一系列工作对三维拓扑序进行了完全的分类和构建。 

4 代数拓扑在凝聚态物理中的应用  

近代数学的另一重要分支——代数拓扑，也在凝聚态物理中有重要的应用。上面提到长程纠缠（即拓扑序）代表了一类新型的量子物态。那么长程纠缠的反面——短程纠缠，应当只能描写那些平庸的、没意思的量子物态。可最近十几年的研究揭示，如果系统有对称性，那么即使是没有拓扑序的短程纠缠的量子物态，也可以是非平凡的。这类非平凡短程纠缠态被称之为“对称保护序”。媒体中常说的拓扑绝缘体^[4]，就是一种没有拓扑序，但有对称保护序的量子物态。虽然有短程纠缠的对称保护序，没有分数电荷，没有分数自由度，也没有分数统计，但它们会有非平凡的、可以导电导热的边界，这使之成为目前凝聚态物理研究的一个大热点。   

Mele和Kane在理论上发现了拓扑绝缘体      

而代数拓扑中的上同调理论和示性类理论，正是描写这些短程纠缠（即对称保护序）的数学语言。这些代数拓扑理论使我们对一维有能隙的物态有了完全的理解和分类^[5]，也使我们对高维的对称保护序有了完全的理解和分类^[6]。 

有很长一段时间，我们认为所有的物态都可以通过朗道的对称性和对称性破缺理论来理解。为了理解这些物态，为了研究对称性，很多物理学生都学群论。现在我们意识到，还有很多新的物态是超越朗道对称性理论的。为了研究这些新的量子物态及其中的多体量子纠缠，今后许多物理学生，很可能还要学习范畴学和代数拓扑。（其实目前已经有很多物理学生开始学习范畴学、代数拓扑等现代数学理论）。这显示了数学物理的交融和并肩发展。新的数学进入物理，也意味着物理目前正在进行一场改朝换代的新革命。 

参考文献 

1. 陈谐，顾正澄，文小刚， Local unitary transformation, long-range quantum entanglement, wave function renormalization, and topological order, arXiv:1004.3835 

2. 文小刚，Topological Orders In Rigid States, Int. J. Mod. Phys. B, 04, 239 (1990);  Rowell, Stong, 王正汉， On Classification of Modular Tensor Categories, arXiv:0712.1377 

3.  兰天，孔良，文小刚,  Classification of {(3+1)D} Bosonic Topological Orders (I): The Case When Pointlike Excitations Are All Bosons, arXiv:1704.04221, 

兰天，文小刚， Classification of {3+1D} Bosonic Topological Orders (II): The Case When Some Pointlike Excitations Are Fermions; arXiv:1801.08530; 

朱晨畅，兰天，文小刚，Topological non-linear sigma-model, higher gauge theory, and a realization of all {3+1D} topological orders for boson systems, arXiv:1808.09394 

4. Kane, Mele, Z2 Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect, cond-mat/0506581 

5. 陈谐，顾正澄，文小刚，Complete classification of 1D gapped quantum phases in interacting spin systems; arXiv:1103.3323 

6.  顾正澄，文小刚，Tensor-Entanglement-Filtering Renormalization Approach and Symmetry Protected Topological Order; arXiv:0903.1069;  陈谐，顾正澄，刘正鑫，文小刚， 

Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group, arXiv:1106.4772. 

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